Большие уклонения строго докритического ветвящегося процесса в случайной среде

Abstract

Рассматриваются вероятности больших уклонений строго докритического ветвящегося процесса $Z_n, n\ge 0\}$ в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. Предполагается, что приращения сопровождающего случайного блуждания $S_n=\xi _1+\ldots +\xi _n$ имеют конечное среднее $\mu $ и удовлетворяют условию Крамера $\operatorname {\mathbf E}e^{h\xi _i}<\infty $, $0<h<h^+$. При дополнительных моментных ограничениях на $Z_1$ найдена точная асимптотика вероятностей $\operatorname {\mathbf P}(\ln Z_n \in [x,x+\Delta _n))$ при изменении отношения $x/n$ в диапазоне $(0,\gamma )$, где $\gamma $ - некоторая положительная константа, для всех достаточно медленно стремящихся к нулю при $n\to \infty $ последовательностей $\Delta _n$. Этот результат дополняет полученное ранее автором утверждение об асимптотике таких вероятностей для случая $x/n>\gamma $.