Критические ветвящиеся процессы в случайной среде с иммиграцией: размер единственного выжившего семейства

Abstract

Рассматривается критический ветвящийся процесс $\{Y_n, n\geq 0\}$, эволюционирующий в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, к каждому поколению которого присоединяется ровно один иммигрант. Обозначим через $\mathcal A_i(n)$ событие, состоящее в том, что все индивидуумы, существующие в процессе в момент $n$, являются потомками иммигранта, присоединившегося к популяции в момент $i$. Исследуется распределение случайной величины $Y_n$ при $n\to \infty $ в предположении, что событие $\mathcal A_i(n)$ произошло, а момент $i$ либо фиксирован, либо близок к $n$, либо стремится к бесконечности, но далек от $n$.$\qquad $