О проблеме классификации многочленов $f$ с периодическим разложением $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь в гиперэллиптических полях

Abstract

Классическая проблема периодичности непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей имеет большую и глубокую историю. До сих пор эта проблема была далека от полного решения. Удивительный результат был получен в статье [1] для квадратичных расширений, определяемых кубическими многочленами с коэффициентами из поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$: за исключением тривиальных случаев с точностью до эквивалентности существуют только три кубических многочлена над $\mathbb{Q}$, квадратный корень из которых разлагается в периодическую непрерывную дробь в поле формальных степенных рядов $\mathbb{Q}((x))$. С учетом результатов статьи [1] в этой статье полностью решена проблема классификации многочленов $f$, с периодическим разложением $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь для эллиптических полей с полем рациональных чисел в качестве поля констант. Библиография: 29 наименований.