Нули, оценки и асимптотики для ортогональных полиномов на единичной окружности

Abstract

Пусть $\mu $ - мера на единичной окружности, регулярная в смысле Шталя, Тотика и Ульмана. Пусть $\{\varphi_{n}\} $ - ортонормированные полиномы относительно веса $\mu $ и $z_{jn}\} $ - их нули. Предположим, что $\mu $ абсолютно непрерывна на дуге $\Delta $ единичной окружности, причем $\mu'$ положительна и непрерывна на этой дуге. Мы показываем, что равномерная ограниченность ортонормированных полиномов на дугах $\Gamma $, содержащихся в дуге $\Delta $, равносильна определенному асимптотическому поведению нулей этих полиномов внутри секторов, опирающихся на $\Gamma $. Аналогично, выполнение равномерного предельного соотношения $\lim_{n\to \infty}|\varphi_{n}(z)|^{2}\mu'(z)=1$ равносильно наличию соответствующих асимптотик для нулей в таких секторах. Библиография: 27 названий.