Структура инвариантных относительно сдвига подпространств соболевских пространств

Abstract

Рассмотрены инвариантные относительно сдвига подпространства $V_s$ соболевских пространств $H^s(\mathbb{R}^n)$, $s\in\mathbb{R}$, порожденные набором образующих $\varphi_i$, $i\in I$, где множество $I$ не более чем счетно. Для анализа используются функции образа и свойства бесселевых последовательностей, фреймов и базисов Рисса для таких пространств. Также пространства $V_s$ характеризуются грамианами и своими разложениями в прямую сумму. Показано, что $f\in\mathcal D_{L^2}'(\mathbb{R}^n)$ принадлежит $V_s$ тогда и только тогда, когда ее преобразование Фурье имеет вид $\hat f=\sum_{i\in I}f_ig_i$, $f_i=\hat\varphi_i\in L_s^2(\mathbb{R}^n)$, множество $\{\varphi_i( {\cdot} +k)\colon k\in\mathbb Z^n,i\in I\}$ - фрейм и $g_i=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}a_k^ie^{-2\pi\sqrt{-1} \langle {\cdot} ,k\rangle}$ с $(a^i_k)_{k\in\mathbb{Z}^n}\in\ell^2(\mathbb{Z}^n)$. Кроме того, связь между двумя разными подходами к инвариантным относительно сдвига пространствам $V_s$ и $\mathcal V^2_s$, $s>0$, в предположении, что конечное число образующих принадлежит $H^s\cap L^ 2_s$, позволяет описать элементы из $V_s$ с помощью разложения с коэффициентами из $\ell^2_s(\mathbb{Z}^n)$. Соответствующее утверждение справедливо для пересечений таких пространств с двойственными пространствами, когда образующие принадлежат $\mathcal S(\mathbb R^n)$. Показано, что пространство $\bigcap_{s>0}V_s$ состоит из функций, преобразования Фурье которых равны произведениям функций из $\mathcal S(\mathbb R^n)$ и периодических гладких функций. Соответствующее утверждение получено также для $\bigcup_{s>0}V_{-s}$.