Когда поиск относительно максимальных подгрупп редуцируется к факторгруппам?

Abstract

Пусть $\mathfrak{X}$ - класс конечных групп, замкнутый относительно подгрупп, гомоморфных образов и расширений, и $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)$ - число классов сопряженности $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп конечной группы $G$. Естественная задача - описать с точностью до сопряженности $\mathfrak{X}$-максимальные подгруппы данной конечной группы - не индуктивна. В частности, в образе гомоморфизма образ $\mathfrak{X}$-максимальной подгруппы, вообще говоря, не $\mathfrak{X}$-максимален. Существуют гомоморфизмы, сохраняющие число классов сопряженности максимальных $\mathfrak{X}$-подгрупп (например, гомоморфизмы, ядра которых - $\mathfrak{X}$-группы). Относительно таких гомоморфизмов образ $\mathfrak{X}$-максимальной подгруппы всегда $\mathfrak{X}$-максимален и существует естественная биекция между классами сопряженности $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп образа и прообраза. В работе такие гомоморфизмы полностью описаны. Доказано, что для гомоморфизма $\phi$ из группы $G$ равенство $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\operatorname{im} \phi)$ выполнено, если и только если $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\ker \phi)=1$, а это, в свою очередь, равносильно тому, что композиционные факторы ядра $\phi$ принадлежат известному списку. Библиография: 25 наименований.