Внешние биллиарды вне правильных многоугольников: ручной случай

Abstract

Рассмотрена проблема периодичности, т. е. существования апериодической точки и полноты меры периодических точек для внешних биллиардов вне правильных $n$-угольников. Случаи $n=3,4,6$ являются решеточными и тривиальными; для них апериодической точки нет, а периодические точки образуют множество полной меры. Случаи $n=5,10,8,12$, и только они, считаются ручными. С. Л. Табачникову в своей прорывной работе удалось решить проблемы периодичности для случая $n=5$, впервые применив метод ренормализационной схемы и исследовав с помощью этой схемы возникающие самоподобные структуры. Случай $n=10$ похож на случай $n=5$, и был исследован автором ранее. Данная же статья посвящена оставшимся случаям $n=8,12$. Доказано существование апериодической орбиты для внешних биллиардов вне правильных восьми- и двенадцатиугольников, а также, что почти все траектории таких внешних биллиардов являются периодическими. При анализе случая правильного двенадцатиугольника используются доказательные компьютерные вычисления. Установлена эквивалентность между внешними биллиардами вне правильных $n$- и $n/2$-угольников, если $n$ четно, а $n/2$ нечетно. В основе исследования лежит ренормализационная схема по Табачникову. Библиография: 23 наименования.