Либрации с большими периодами в туннелировании: эффективное вычисление и приложение к тригональным димерам

Abstract

При исследовании туннельных асимптотик для нижних уровней оператора Шредингера (таких как энергетическое расщепление в симметричной двойной яме или ширина спектральной зоны в периодической задаче) естественным образом возникают либрации, т. е. периодические решения классической системы с перевернутым потенциалом, которые дважды на периоде достигают границы области возможных движений. В пределе они дают двояко асимптотические решения с двумя симметричными неустойчивыми положениями равновесия (инстантоны). Туннельные асимптотики можно записать двумя способами: либо в терминах действия на инстантоне и линеаризованной динамики в его окрестности, либо в терминах некоторой либрации, называемой туннельной. Второй способ более конструктивен, поскольку его использование для численных расчетов сводится к двум операциям: нахождение либрации с данной энергией и вычисление коэффициентов Флоке для данной либрации. Для применения этого подхода на практике предлагается находить либрации с данной энергией, используя вариационный численный метод, обобщающий идеи метода упругой нити. В качестве приложения найдена асимптотика для ширин нижних спектральных зон и лакун, выраженная через туннельную либрацию в четырехмерной системе, описывающей димер в тригонально-симметричном поле, которая была предложена М. И. Кацнельсоном.