Неравенства типа Харди для одной весовой функции и их применения

Abstract

Доказаны новые одномерные неравенства типа Харди для весовой функции вида $x^\alpha(2-x)^\beta$ при положительных и отрицательных значениях параметров $\alpha$ и $\beta$. В некоторых случаях константы в полученных одномерных неравенствах являются точными. Одномерные неравенства с дополнительными слагаемыми используются при обосновании многомерных неравенств с весовыми функциями, зависящими от степеней расстояния в среднем или функции расстояния до границы области. Пространственные неравенства доказываются в произвольных областях, в областях регулярных в смысле Дэвиса, в областях, удовлетворяющих условию конуса, в областях, $\lambda$-близких к выпуклым, и выпуклых областях. Константа перед дополнительным слагаемым в пространственном неравенстве зависит от объема или диаметра области. Как следствие этих многомерных неравенств в различных классах областей установлены оценки для первого собственного значения лапласиана при граничных условиях Дирихле. Одномерные неравенства также применяются при получении новых классов однолистных мероморфных в односвязных областях функций. Ослаблены известные достаточные условия однолистности типа Нехари-Покорного. Библиография: 36 наименований.