Определитель Ганкеля для полуклассического унитарного ансамбля Лагерра, уравнения Пенлеве IV и Гойна

Abstract

Проведен анализ асимптотического поведения определителя Ганкеля, порожденного полуклассическим весом Лагерра. Для этого применяются лестничные операторы и исследуется эволюция параметров. Установлено, что вспомогательная величина, связанная с полуклассическим весом Лагерра, удовлетворяет уравнению Пенлеве IV, в котором выполнено соответствующее преобразование переменных. С помощью метода кулоновской жидкости получено разложение при больших $n$ логарифма определителя Ганкеля. Это позволяет разобраться в скейлинге и флуктуациях определителя, а также способствует более глубокому пониманию его поведения в полуклассическом ансамбле Лагерра. Исследуется асимптотическая эволюция ортогональных многочленов по полуклассическому весу Лагерра, рассматривается частный случай. Изучаются свойства и характеристики этих полиномов, связанные с ансамблем. Объясняется связь между дифференциальными уравнениями второго порядка, которым удовлетворяют ортогональные многочлены по полуклассическому весу Лагерра, и триконфлюэнтными уравнениями Гойна или биконфлюэнтными уравнениями Гойна.