Локальные адиабатические инварианты в окрестности гомоклинического множества быстро-медленной гамильтоновой системы

Abstract

В быстро-медленных системах быстрые переменные меняются со скоростью порядка единицы, а медленные со скоростью порядка $\varepsilon \ll 1$. Система, получающаяся при $\varepsilon =0$, называется замороженной. Если замороженная (быстрая) система имеет одну степень свободы, то в области, где линии уровня замороженного гамильтониана - замкнутые кривые, существует адиабатический инвариант. А. Нейштадт показал, что вблизи сепаратрисы замороженной системы адиабатический инвариант испытывает квазислучайные скачки порядка $\varepsilon $. В данной работе результаты Нейштадта частично переносятся на многомерный случай. Показано, что если замороженная система имеет гиперболическую критическую точку и существует несколько трансверсальных гомоклинических траекторий, то при малых $\varepsilon $ существуют траектории, отслеживающие цепочки гомоклиник. Медленные переменные эволюционируют квазислучайным образом, отслеживая траектории систем с гамильтонианами, аналогичными адиабатическим инвариантам. Данная работа продолжает исследования В. Гельфрейха и Д. Тураева, рассматривавших аналогичные явления далеко от критических точек замороженного гамильтониана.