Обзор методов построения точных решений уравнений математической физики, основанных на использовании более простых решений

Abstract

Дан краткий обзор методов построения точных решений нелинейных уравнений математической физики и функционально-дифференциальных уравнений с частными производными, которые основаны на использовании более простых решений. Эти методы базируются на следующих двух основных идеях: 1) простые точные решения рассматриваемых уравнений могут использоваться для поиска более сложных решений этих же уравнений; 2) точные решения одних уравнений могут служить основой для построения решений более сложных родственных уравнений или других классов уравнений, имеющих аналогичные нелинейные члены. В частности, показано, как исходя из простых решений с помощью преобразований сдвига и масштабирования можно найти более сложные точные решения; продемонстрировано, что в некоторых случаях можно получать достаточно сложные решения путем добавления слагаемых к более простым решениям; рассматриваются ситуации, когда с помощью однотипных простых решений можно построить более сложное составное решение; описан метод поиска точных решений уравнений с несколькими пространственными переменными исходя из решений родственных уравнений с одной пространственной переменной. Большинство предложенных методов приводят к небольшому объему промежуточных вычислений, их эффективность иллюстрируется на конкретных примерах. Рассматриваются нелинейные уравнения теплопроводности, реакционно-диффузионные уравнения, нелинейные волновые уравнения, уравнения гидродинамики и газовой динамики. Показано, что некоторые решения уравнений с частными производными можно использовать для построения точных решений более сложных уравнений с запаздыванием. Описан метод, позволяющий строить точные решения функционально-дифференциальных уравнений с частными производными, которые содержат искомые функции с растяжением или сжатием аргументов.