О нильпотентной аппроксимируемости групп с одним определяющим соотношением

Abstract

Описаны все группы из семейства групп Баумслага-Солитэра, т.е. групп вида $G(m,n)=\langle a, b; a^{-1}b^ma=b^n \rangle$ (где $m$ и $n$ - ненулевые целые числа), для которых условие аппроксимируемости нильпотентными группами выполняется тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа $p$ выполнено условие аппроксимируемости конечными $p$-группами. Оказалось, в частности, что группа $G(p^r,-p^r)$, где $p$ - нечетное простое число и $r\geqslant 1$, аппроксимируема нильпотентными группами и не является аппроксимируемой конечными $q$-группами ни для какого простого числа $q$. Тем самым, получен ответ на вопрос о существовании обладающих таким свойством нециклических групп с одним определяющим соотношением, сформулированный Мак-Кароном в работе 1996 года. Приведено также простое доказательство анонсированного там же утверждения об аппроксимируемости конечными $p$-группами для некоторого простого числа $p$ произвольной аппроксимируемой нильпотентными группами нециклической группы с одним определяющим соотношением, имеющей элементы конечного порядка. Библиография: 11 названий.