Algebra of shares, complete bipartite graphs and $\mathfrak{sl}_2$ weight system

Abstract

В теории Васильева инварианты узлов конечного порядка описываются в терминах весовых систем - функций на хордовых диаграммах, удовлетворяющих четырехчленным соотношениям. В частности, крашеному многочлену Джонса соответствует весовая система, описываемая в терминах алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. Согласно теореме Чмутова-Ландо значение этой весовой системы зависит лишь от графа пересечений хордовой диаграммы, что позволяет говорить о ее значениях на графах пересечений. В настоящей статье мы выводим явные формулы для производящих функций для значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на полных двудольных графах и показываем с их помощью, что для полных двудольных графов и некоторого более широкого класса графов выполняется гипотеза Ландо о степени многочлена - значения $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на проекции на примитивные в алгебре Хопфа графов. В основе доказательства лежат введенная нами алгебра долей и $\mathfrak{sl}_2$-весовая система на долях, тесно связанная с $\mathfrak{sl}_2$-весовой системой на хордовых диаграммах. Библиография: 14 названий.