Критерий существования энергетической функции у регулярного гомеоморфизма 3-сферы

Abstract

Фундаментальная теорема теории динамических систем, доказанная Ч. Конли, устанавливает факт существования непрерывной функции Ляпунова для любой динамической системы, в том числе и не гладкой (т.е. для непрерывного потока или дискретной динамической системы, порожденной гомеоморфизмом). Функция Ляпунова строго убывает вдоль траекторий динамической системы вне цепно рекуррентного множества и является константой на цепной компоненте. Наиболее тесную связь с динамикой имеет энергетическая функция - функция Ляпунова, множество критических точек которой совпадает с цепно рекуррентным множеством динамической системы. Известно, что не все динамические системы обладают энергетической функцией. В частности, согласно Д. Пикстону даже структурно устойчивые диффеоморфизмы с неблуждающим множеством, состоящим из четырех неподвижных точек, могут не иметь гладкой энергетической функции. Основным результатом работы является доказательство критерия существования непрерывной энергетической функции Морса для регулярных гомеоморфизмов $3$-сферы, согласно которому существование такой функции равносильно асимптотической тривиальности одномерных седловых многообразий. Полученный критерий обобщает результаты В.З. Гринеса, Ф. Лауденбаха, О.В. Починки для $3$-диффеоморфизмов Морса-Смейла в случае, когда несущее многообразие является трехмерной сферой. Из полученного критерия следует, в частности, что примеры Пикстона не обладают и непрерывной энергетической функцией.