A direct algorithm for constructing recursion operators and Lax pairs for integrable models

Abstract

Предложен алгоритм поиска операторов рекурсии для нелинейных интегрируемых уравнений. Обнаружено, что оператор рекурсии $R$ можно выразить как отношение вида $R=L_1^{-1}L_2$, где линейные дифференциальные операторы $L_1$ и $L_2$ выбраны таким образом, что обыкновенное дифференциальное уравнение $(L_2-\lambda L_1)U=0$ совместно с линеаризацией заданного нелинейного интегрируемого уравнения при любом значении параметра $\lambda\in \mathbb{C}$. Для построения оператора $L_1$ используются инвариантные многообразия, являющиеся обобщением симметрии. Для поиска $L_2$ берется вспомогательное линейное уравнение, связанное с линеаризованным уравнением при помощи преобразования Дарбу. Отметим, что уравнение $L_1\widetilde{U}=L_2U$ задает преобразование Беклунда, переводящее решение $U$ линеаризованного уравнения в другое решение $\widetilde{U}$ этого же уравнения. Отмечена связь инвариантного многообразия с парами Лакса и уравнениями Дубровина.