Two Lempel - Ziv goodness-of-fit tests for nonequiprobable random binary sequences

Abstract

Пусть гипотеза $H_p$ состоит в том, что элементы последовательности $X_1,\ldots,X_n$ независимы и имеют одинаковое распределение: $\mathbf{P}\{X_i=1\}=p$, $\mathbf{P}\{X_i=0\}=1-p$, где $p\in(0,1)$. Ранее были предложены два критерия согласия для гипотезы $H_{0.5}$, основанные на возможности точного вычисления распределений статистик Лемпеля - Зива. В данной статье эти критерии обобщаются на случай произвольных $p\in(0,1)$. Для каждого критерия последовательность длины $n=mrT$ делится на блоки длины $T$, для которых строятся статистики Лемпеля - Зива $W_1(T),\ldots, W_{mr}(T)$. Первый критерий при $r=2$ основан на статистике $\tilde W(2mT)=(W_1+\ldots+W_m)-(W_{m+1}+\ldots+W_{2m})$, распределение которой симметрично относительно нуля. Статистикой второго критерия является величина $\tilde \chi^2(mrT)=\max_{1\le k\le m} \chi_{(k)}^2(T)$, где $\chi_{(1)}^2(T),\ldots,\chi_{(m)}^2(T)$ - значения статистик хи-квадрат, построенных по наборам $(W_{1,1}(T),\ldots, W_{1,r}(T)),\ldots,(W_{m,1}(T), W_{m,2}(T), \ldots, W_{m,r}(T))$ соответственно. Для статистик обоих критериев найдены предельные распределения, для статистики первого критерия приведена оценка скорости сходимости к предельному нормальному распределению.