Modern Methods of Mechanics

Abstract

Рассматривается эволюция линейных волн малых возмущений неустойчивого течения слоя вязкой жидкости, текущего по искривленной поверхности. Предполагается, что источником возмущений являются начальные условия, заданные в малой области (в пределе - в виде $\delta $-функции), либо локализованное мгновенное внешнее воздействие. Поведение возмущений описывается осредненными по толщине слоя уравнениями гидродинамики, учитывающими скатывающую силу и трение о дно (уравнениями Сен-Венана). Изучается асимптотическое поведение одномерных возмущений при больших временах. Наклон поверхности к горизонту считается медленно меняющейся функцией пространственной переменной. Основное внимание уделяется амплитуде возмущений как функции времени и пространственной переменной. Используемый метод исследования асимптотики возмущений основан на применении метода перевала и является простым обобщением хорошо известного метода нахождения асимптотики возмущений, развивающихся на однородном фоне. Показана эквивалентность этого метода методу, основанному на использовании приближенного метода ВКБ при построении решений дифференциальных уравнений. При построении асимптотик может оказаться удобным считать $x$ действительной величиной, а времени $t$ позволять принимать комплексные значения.