Поперечники и жесткость

Abstract

В работе изучаются колмогоровские поперечники конечных систем функций. Ортонормированная система из $N$ функций является жесткой в $L_2$ в том смысле, что ее нельзя хорошо приблизить линейными пространствами размерности существенно меньшей $N$. Это не так для более слабых метрик: известно, что во всех $L_p$, $p<2$, первые $N$ функций системы Уолша приближаются с погрешностью $o(1)$ линейными пространствами размерности $o(N)$. Получены достаточные условия жесткости. Мы доказываем, что независимость (в теоретико-вероятностном смысле) функций влечет жесткость в $L_1$ и даже в $L_0$ - в метрике, отвечающей за сходимость по мере. В случае $L_p$, $1<p<2$, условие слабее: любая $S_{p'}$ система является жесткой в $L_p$. Для некоторых систем получены положительные результаты об аппроксимации. Так, первые $N$ функций тригонометрической системы приближаются пространствами очень малой размерности в $L_0$, а также пространствами, порожденными $o(N)$ гармониками в $L_p$, $p<1$. Библиография: 34 названия.