Характеры классических групп, функции типа Шура и дискретные сплайны

Abstract

Мы изучаем спектральную задачу, связанную с конечномерными характерами групп $Sp(2N)$, $SO(2N+1)$ и $SO(2N)$, образующих классические серии $\mathcal C$, $\mathcal B$ и $\mathcal D$ соответственно. Неприводимые характеры этих трех серий задаются симметрическими полиномами от $N$ переменных. Спектральная задача, о которой идет речь, состоит в разложении характеров при их ограничении на подгруппы того же типа, но меньшего ранга $K<N$. Основной результат работы - вывод явных детерминантных формул для коэффициентов разложения. В действительности мы первоначально вычисляем эти коэффициенты в большей общности - для многомерных полиномов Якоби, зависящих от двух непрерывных параметров. Затем мы показываем, что формулы кардинально упрощаются в трех специальных случаях, когда полиномы Якоби отвечают характерам серий $\mathcal C$, $\mathcal B$, $\mathcal D$. В частности, мы показываем, что тогда эти коэффициенты задаются кусочно полиномиальными функциями. Именно здесь возникает связь с дискретными сплайнами. Для характеров серии $\mathcal A$ (т.е. для характеров унитарных групп $U(N)$) аналогичные результаты были ранее получены А. Бородиным и автором [5], а затем передоказаны другим методом Л. Петровым [39]. Случай симплектических и ортогональных характеров является более сложным. Библиография: 58 названий.