Analog of Schoenberg's Theorem for $a$-Conditionally Negative Definite Matrix-Valued Kernels

Abstract

Классическая теорема Шeнберга (1938) утверждает, что если $\rho\colon G\times G\to\mathbb{C}$, то функция $\exp(-t\rho)$ является положительно определенным ядром на $G\times G$ при любом $t>0$ тогда и только тогда, когда ядро $\rho$ является эрмитовым и отрицательно определенным на $G\times G$. Аналог этой теоремы для матриц по существу получил Ч. Лeвнер (1966). Недавно К. Дорр и М. Шлатер (2021) получили аналог теоремы Шeнберга для вещественных матричнозначных функций $\rho(x)$, $x\in \mathbb{R}^d$. Этот аналог связан с условно отрицательно определенными матричнозначными функциями. В данной работе введены и изучены $a$-условно отрицательно определенные матричнозначные ядра $\rho$ на $G\times G$, для которых доказан аналог теоремы Шeнберга. Рассмотрена более общая задача: для каких функций $f$, $g$ и матричнозначных ядер $\rho$ на $G\times G$ функция $f(tg(\rho))$ является при любом $t>0$ положительно определенным матричнозначным ядром на $G\times G$? В работе приведены необходимые, достаточные условия и примеры таких функций. Библиография: 21 название.