Условная функциональная предельная теорема для случайной рекуррентной последовательности при условии совершения ею большого уклонения

Abstract

Пусть $Z_n, n\geqslant 0\}$ - ветвящийся процесс в случайной среде, представляющей собой последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $\{S_n, n\geqslant 1\}$ - его сопровождающее блуждание, $\xi_i$ - шаги сопровождающего блуждания. В предположении, что $\xi_1$ удовлетворяет условию Крамера и выполнены моментные условия на количество потомков одной частицы, для $Z_n$ известна асимптотика вероятностей больших уклонений $\mathbf{P}(\ln Z_n > x)$, где $x/n>\mu^*$, $\mu^*$ - некоторый параметр, зависящий от типа процесса. В работе исследуется поведение траектории процесса, совершающего такого рода уклонение. В частности, получена условная функциональная предельная теорема для траектории $(Z_{[nt]}, t\in [0,1])$, рассматриваемой при условии совершения ею большого уклонения $\ln Z_n>x$. Результат получен для более общей модели случайной рекуррентной последовательности $Y_{n+1}=A_n Y_n + B_n$, $n\geqslant 0$, где последовательность $\{A_i\}$ является последовательностью независимых одинаково распределенных величин, а $Y_0$, $B_i$, $i\geqslant 0$, вообще говоря, зависимы и имеют различное распределение, но удовлетворяют некоторым моментным условиям.