Теоретико-операторный подход к усреднению уравнений типа Шрeдингера с периодическими коэффициентами

Abstract

В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный сильно эллиптический дифференциальный оператор ${\mathcal A}_\varepsilon$ второго порядка. Предполагается, что коэффициенты оператора ${\mathcal A}_\varepsilon$ периодичны и зависят от ${\mathbf x}/\varepsilon$, где $\varepsilon>0$. Изучается поведение операторной экспоненты $e^{-i{\mathcal A}_\varepsilon\tau}$ при малом $\varepsilon$ и $\tau \in \mathbb{R}$. Результаты применяются к усреднению решений задачи Коши для уравнения типа Шрeдингера $i\partial_\tau{\mathbf u}_\varepsilon({\mathbf x},\tau)= ({\mathcal A}_\varepsilon{\mathbf u}_\varepsilon)({\mathbf x},\tau)$ с начальными данными из специального класса. При фиксированном $\tau$ и $\varepsilon \to 0$ решение сходится в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ к решению усредненной задачи; погрешность имеет порядок $O(\varepsilon)$. При фиксированном $\tau$ получена аппроксимация решения ${\mathbf u}_\varepsilon( \cdot ,\tau)$ по норме в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon^2)$, а также аппроксимация решения по норме в $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon)$. В этих аппроксимациях учитываются корректоры. Отслежена зависимость погрешностей от параметра $\tau$. Библиография: 113 названий.