Обвертывание значений аналитической функции, связанной с числом $e$

Abstract

Рассматривается задача о полном описании картины приближения числа $e$ элементами последовательности $(1+1/m)^m$ при $m\in\mathbb{N}$. С этой целью подробно изучается функция $f(z)=\exp\{(1/z)\ln(1+z)-1\}$, аналитическая в комплексной плоскости с разрезом по лучу $(-\infty,-1]$ вещественной прямой. Доказано, что степенной ряд $1+\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^n a_n z^n$, где все $a_n>0$, представляющий эту функцию в единичном круге, обвертывает ее в открытой правой полуплоскости. Это дает на положительном луче серию асимптотически точных при $x\to 0$ двойных неравенств для величины уклонения $e-(1+x)^{1/x}$. Важную роль в исследовании играют установленные нами интегральные представления как самой функции $f(z)$, так и коэффициентов $a_n$. Для последних найдена двучленная асимптотика при $n\to \infty$ и показано, что они образуют логарифмически выпуклую вполне монотонную последовательность. Получены также интегральные выражения для производных любого порядка от исходной функции $f(z)$. На луче $x>-1$, как выясняется, $f(x)$ будет вполне монотонной. Обсуждается применение и развитие полученных результатов. Библиография: 20 названий.