On the Index of the Gradient of a Real Invertible Polynomial

Abstract

Приводятся несколько наблюдений, касающихся так называемых обратимых многочленов, введенных и изученных в серии статей по математической физике и теории особенностей. В частности, рассмотрены вещественные версии обратимых многочленов и исследованы инварианты связанных с ними изолированных особенностей гиперповерхностей. По определению такой многочлен является взвешенно однородным и его градиентное векторное поле $\operatorname {grad}f$ имеет изолированный нуль в начале координат; следовательно, корректно определен его индекс $\operatorname {ind}_0\operatorname {grad}f$. Этот индекс, называемый индексом градиента многочлена, является главным объектом исследования в работе. В частности, дана эффективная оценка модуля индекса градиента $\operatorname {ind}_0\operatorname {grad}f$ через взвешенно однородный тип многочлена $f$ и исследована ее точность. Для вещественных обратимых многочленов от двух и трех переменных найдено полное множество возможных значений индекса градиента. В качестве приложения в случае трех переменных приведен полный список возможных топологических типов слоев Милнора вещественных обратимых многочленов, обобщающий недавние результаты Л. Андерсена по топологии изолированных вещественных особенностей гиперповерхностей. В заключение представлены несколько открытых проблем и гипотез, возникших в ходе работы.