Stabilization of the statistical solutions for large times for a harmonic lattice coupled to a Klein-Gordon field

Abstract

Рассматривается задача Коши для гамильтоновой системы, состоящей из поля Клейна-Гордона и бесконечного гармонического кристалла. Динамика системы трансляционно-инвариантна относительно дискретной подгруппы $\mathbb{Z}^d$ группы $\mathbb{R}^d$. Начальные данные задаются как случайная функция, которая близка к двум пространственно-однородным (относительно подгруппы $\mathbb{Z}^d$) процессам при $\pm x_1>a$ с некоторым $a>0$. Изучается распределение $\mu_t$ решения в момент времени $t\in\mathbb{R}$ и доказывается слабая сходимость $\mu_t$ к гауссовой мере $\mu_\infty$ при $t\to\infty$. Кроме того, доказано существование предела корреляционных функций и выведены явные формулы для ковариации предельной меры $\mu_\infty$. Дается приложение к случаю гиббсовских мер.