Алгебры Ли и интегрируемые системы: эластики и геодезические качения

Abstract

Настоящая работа продолжает имеющее долгую историю исследование увлекательных связей алгебр и групп Ли с задачами прикладной математики. Оно берет свое начало с открытия того, что математический формализм, инициированный Г. Кирхгофом для моделирования равновесных конфигураций упругого стержня, можно распространить на группы изометрий некоторых римановых многообразий с помощью методов теории управления и принципа максимума, что приводит к большому классу гамильтоновых систем, которые по-новому связывают геометрию с физикой. Основное внимание в работе уделяется связи аффинно-квадратичной задачи типа Кирхгофа с задачей о геодезической качения, возникающей при качении однородных многообразий $G/K$, снабженных $G$-инвариантной метрикой, по их касательным пространствам. Показано, что между этими двумя задачами существует замечательная связь, проявляющаяся в общей изоспектральной кривой в алгебре Ли $\mathfrak g$ группы $G$. По ходу рассуждений будет также раскрыта роль кривизны для теории эластик.