Об асимптотике решений двучленных дифференциальных уравнений

Abstract

В работе получены асимптотические формулы при $x\to\infty$ для фундаментальной системы решений уравнения вида $$ l(y):=(-1)^n(p(x)y^{(n)})^{(n)}+q(x)y=\lambda y,\qquad x\in[1,\infty), $$ где локально суммируемая функция $p$ допускает представление $$ p(x)=(1+r(x))^{-1},\qquad r\in L^1 [1,\infty), $$ а $q$ - обобщенная функция, представимая при некотором фиксированном $k$, $0\le k\le n$, в виде $q=\sigma^{(k)}$, где \begin{alignat*}{2} \sigma&amp;\in L^1[1,\infty),&amp;\qquad &amp;если k<n, |\sigma|(1+|r|)(1+|\sigma|)&amp;\in L^1[1, \infty), &amp;\qquad &amp;если k=n. \end{alignat*} Аналогичные результаты получены для уравнений $l(y)=\lambda y$, коэффициенты $p(x)$ и $q(x)$ которых допускают при некотором фиксированном $k$, $0\le k\le n$, представление $$ p(x)=x^{2n+\nu}(1+r(x))^{-1},\qquad q=\sigma^{(k)},\quad \sigma(x)=x^{k+\nu}(\beta+s(x)), $$ где функции $r$ и $s$ удовлетворяют некоторым условиям интегрального убывания. Получены также теоремы об индексах дефекта минимального симметрического оператора, порожденного дифференциальным выражением $l(y)$ (при условии вещественности функций $p$ и $q$), и теоремы о спектрах соответствующих самосопряженных расширений. Библиография: 19 названий.