Замечание к теоремам об обобщенном сжатии

Abstract

Настоящая работа посвящена оценкам неподвижной точки обобщенно сжимающего (в смысле определений Браудера и Красносельского) оператора $G$, действующего в полном метрическом пространстве $(X,\rho)$. Получены верхняя и нижняя оценки расстояния $\rho(x_0,\xi)$ от произвольной $x_0 \in X$ до неподвижной точки $\xi$ оператора $G$. В случае "обычного" $q$-сжатия ($0\leqslant q<1$) следствием полученной в работе верхней оценки является неравенство $$ \rho(x_0,\xi)\leqslant {(1-q)}^{-1}{\rho(x_0,G(x_0))} $$ из теоремы Банаха, а нижней оценки - неравенство $$ \rho(x_0,\xi)\geqslant {(1+q)}^{-1}{\rho(x_0,G(x_0))}. $$ Также для обобщенно сжимающего оператора получены оценки расстояния $\rho(x_0,x_i)$ от $x_0$ до $i$-ой итерации $x_i$ (определяемой рекуррентным соотношением $x_j=G(x_{j-1})$, $j=1,…,i$). На основании полученных оценок доказана теорема о неподвижной точке оператора, удовлетворяющего локальному условию обобщенного сжатия. Библиография: 14 названий.