Про одну оцінку $R$-типу цілого ряду Діріхле та її точність

Abstract

Нехай $(\lambda_n)$ $-$ невід'ємна зростаюча до $+\infty$ послідовність, $\tau=\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{\ln n}{\lambda_n}$, а $\rho$ $-$ додатне число. З класичної теореми Ж. Валірона випливає, що для кожного цілого ряду Діріхле вигляду $F(s)=\sum a_ne^{s\lambda_n}$ правильна оцінка$$\limsup_{\sigma\to+\infty}\frac{\ln \sup\{|F(s)|:\,\text{Re}\, s=\sigma\}}{e^{\rho\sigma}}\le e^{\rho\tau} \limsup_{n\to\infty}\frac{\lambda_n}{e\rho}|a_n|^\frac{\rho}{\lambda_n}.$$В роботі доведено точність цієї оцінки.