ON INFINITE SERIES OF NONLOCAL CONSERVATION LAWS FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Abstract

Популярное в математике понятие интегрируемости дифференциальных уравнений (и столь же разнообразно трактуемое) тесно связано с существованием симметрий и законов сохранения. Все известные интегрируемые дифференциальные уравнения обладают бесконечными сериями симметрий и (или) законов сохранения. Однако также имеется целый ряд уравнений, важных для приложений, но имеющих крайне скудный запас симметрий или законов сохранения. Попытки расширить понятия симметрии и закона сохранения предпринимались разными авторами, и на эту тему имеется обширная литература. В данной статье представлен следующий результат. Если ℓ-нормальная система дифференциальных уравнений в частных производных имеет когомологически нетривиальный закон сохранения, то этот закон сохранения порождает бесконечную серию нелокальных законов сохранения. Этот факт обобщает аналогичный результат статьи автора для дифференциальных уравнений (не систем). Результат получен в рамках геометрической теории дифференциальных уравнений в частных производных. Согласно геометрическому подходу, многообразие, снабженное конечномерным распределением, удовлетворяющим условиям интегрируемости Фробениуса, называется диффеотопом (diffiety), если локально оно имеет вид бесконечно продолженного уравнения Ɛ∞. Диффеотопы являются объектами категории дифференциальных уравнений, введенной А.М. Виноградовым. Под симметриями уравнения понимают преобразования (конечные или инфинитизимальные) бесконечного продолжения уравнения, которые сохраняют распределение Картана, а под законами сохранения – (n-1)-e классы когомологий горизонтального комплекса де Рама уравнения, где n – число независимых переменных уравнения. Накрытием называется эпиморфизм  τ:Ɛ⟶ Ɛ∞ в категории дифференциальных уравнений, порождающий изоморфизм распределений. Симметрии и законы сохранения диффеотопа ࣟƐ называются нелокальными симметриями и законами сохранения уравнения ࣟƐ  Выбор подходящего накрытия позволяет получать новые (нелокальные) симметрии и законы сохранения исследуемого уравнения. В работе приведена конструкция одного накрытия и доказано существование бесконечных серий нелокальных законов сохранения у широкого класса систем дифференциальных уравнений в частных производных.системы дифференциальных уравнений в частных производных; накрытия дифференциальных уравнений; нелокальные симметрии и законы сохранения  The notion of integrability of differential equations is closely connected with the existence of symmetries and conservation laws. All known integrable differential equations have infinite series of symmetries and (or) conservation laws. However, there is also a number of equations that are important for applications, but with an extremely scarce stock of symmetries or conservation laws. Attempts to extend the concepts of symmetry and conservation law were made by different authors. This article presents the following result. If a ℓ-normal system of partial differential equations has a cohomologically nontrivial conservation law, then this conservation law generates an infinite series of non-local conservation laws. This fact generalizes the analogous result of the author for differential equations (not systems). The result is obtained within the framework of geometrical theory of partial differential equations (PDE). A manifold supplied with an infinite-dimensional distribution satisfying the Frobenius complete integrability condition is called a diffiety, if it is locally in the form of  Ɛ∞. Diffieties are objects of the category of differential equations introduced by A.M. Vinogradov. Symmetries of PDE are transformations (finite or infinitesimal) of the infinite prolongation  Ɛ∞ preserving the Cartan distribution, while conservation laws are (n-1)-cohomology classes of the horizontal de Rham cohomology. If a covering τ:Ɛ⟶ Ɛ∞ is given, then symmetries and conservation laws of the diffiety Ɛ are called nonlocal symmetries and conservation laws of the equation Ɛ .In appropriate coverings one can get new (nonlocal) symmetries and conservation laws for an equation under consideration. In this paper we investigate one covering and prove the existence of infinite series of nonlocal conservation laws.