Approximations of the Mittag-Leffler operator function with exponential accuracy and their application to solving of evolution equations with fractional derivative in time

Abstract

УДК 519.62 Запропоновано та проаналізовано ефективну дискретизацію операторної функції Міттаг-Леффлера   E 1 + α ( - A t 1 + α ) = ∑ k = 0 ∞ ( - A t 1 + α ) k Γ ( 1 + k ( 1 + α ) ) ,   де A – самоспряжений додатно визначений оператор.  Ця функція має багато застосувань.  Наприклад, вона дає операторний розв'язок еволюційної задачі ∂ t u + ∂ t - α A u = 0 , t > 0 , u ( 0 ) = u 0 , з просторовим оператором A та його дробовими похідними порядку α за часом (у сенсі Рімана–Ліувілля), тобто u ( t ) = E 1 + α ( - A t 1 + α ) u 0 .   Використано метод перетворень Келі, який дозволяє рекурсивно відокремити змінні та подати функцію Міттаг-Леффлера у вигляді нескінченного ряду добутків функцій Лагерра–Келі щодо змінної часу (тобто поліномів від t 1 + α ) та степенів перетворень Келі просторового оператора.  Наближення задається скінченним відрізком ряду, що складається з N доданків.  Вивчено точність цього наближення в залежності від α та N .