Точні нерівності типу Ремеза, що оцінюють L q -норму функції через її L p -норму

Abstract

УДК 517.5 Для довiльних q ≥ p > 0 , α = ( r + 1 / q ) / ( r + 1 / p ) , f p ∈ [ 0 , ∞ ] , β ∈ [ 0,2 π ) , доведено точну нерiвнiсть типу Ремеза < / ⅆ i v > < ⅆ i v > ‖ x ‖ q ≤ < / ⅆ i v > < ⅆ i v > ‖ φ r + c ‖ q ‖ φ r + c ‖ L p ( [ 0 , < / ⅆ i v > < ⅆ i v > 2 π ] ∖ B y ( β ) ) α ‖ x ‖ L p ( [ 0 , < / ⅆ i v > < ⅆ i v > 2 π ] ∖ B ) α ‖ x ( r ) ‖ ∞ 1 - α < / ⅆ i v > < ⅆ i v > для 2 π -перiодичних функцiй x ∈ L ∞ r , що мають нулі, і задовольняють умову < / ⅆ i v > < ⅆ i v > ‖ x + ‖ p ⋅ ‖ x - ‖ p -1 = f p ( 1 ) < / ⅆ i v > < ⅆ i v > де φ r - ідеальний сплайн Ейлера порядку r , а число c обрано так, що функція x = φ r + c задовольняє рівність (1), B - довільна вимірна за Лебегом множина, така що μ B ≤ β ( ‖ φ r + c ‖ p ⋅ ‖ x ( r ) ‖ ∞ ⋅ ‖ x ‖ p -1 ) - 1 / ( r + 1 / p ) , а множина B y ( β ) означена рівністю B y ( β ) : = { t ∈ [ 0,2 π ] : | φ r ( t ) + c | > y ( β ) } , причому μ B y ( β ) = β . Також отримано точні нерівності різних метрик типу Ремеза для тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів, що задовольняють умову (1).