Локальні властивості цілих функцій обмеженого індексу за змінним напрямком (репером)

Abstract

УДК 517.555 Розширено поняття цілої функції обмеженого індексу за змінним напрямком на випадок, коли змінний напрямок -неперервна векторно-значна функція. Попередні дослідження цього класу функцій містили обмеження, що змінний напрямок — ціла векторно-значна функція.Ціла функція F : ℂ n → ℂ називається функцією обмеженого індексу за змінним напрямком (репером) b ( z ) , якщо існує m 0 ∈ ℤ + таке, що для кожного m ∈ ℤ + , всіх z ∈ ℂ n та всіх t ∈ ℂ виконується | ∂ b ( z ) m F ( z + t b ( z ) ) | m ! ≤ max 0 ≤ k ≤ m 0 | ∂ b ( z ) k F ( z + t b ( z ) ) | k ! , де ∂ b ( z ) 0 F ( z + t b ( z ) ) = F ( z + t b ( z ) ) , ∂ b ( z ) k F ( z + t b ( z ) ) : = k ! 2 π i ∫ | τ | = r F ( z + t b ( z ) + τ b ( z ) ) τ k + 1 ⅆ τ та b : ℂ n → ℂ n — векторно-значна неперервна функція.У статті наведено дослідження деяких властивостей цих функцій. Отримані результати — аналоги тверджень, відомих для цілих функцій обмеженого індексу за фіксованим напрямком. Вони описують локальне поводження модуля ∂ b ( z ) k F ( z + t b + τ b ( z ) ) на колі | τ | = η . Знайдено деякі оцінки цього виразу через значення   ∂ b ( z ) k F ( z + t b ) .