Скінченні ланцюгові A 2 -дроби в задачах раціональних наближень дійсних чисел

Abstract

УДК 511.7+517.5 Розглядаються скінченні ланцюгові дроби, елементами яких є числа 1 2 і 1 (так звані ланцюгові A 2 -дроби): 1 / a 1 + 1 / a 2 + … + 1 / a n = [ 0 ; a 1 , a 2 , … , a n ] , a i ∈ A 2 = { 1 2 ,1 } .  Вивчається структура множини F значень усіх таких дробів, а також питання про кількість зображень чисел з відрізка [ 1 2 ; 1 ] такими дробами. Доведено, що множина F ⊂ [ 1 3 ; 2 ] має автомодельну структуру і є щільною у відрізку  [ 1 2 ; 1 ] ; множина її елементів, більших 1 , є множиною членів двох спадних послідовностей, збіжних до 1 , а менших 1 2 – множиною членів двох зростаючих послідовностей, збіжних до 1 2 .  Акцентовано увагу на принципову відмінність зображень чисел скінченними та нескінченними A 2 -дробами. Сформульовано гіпотетичне твердження: кожне раціональне число відрізка [ 1 2 ; 1 ] має зображення скінченним ланцюговим A 2 -дробом.