Abstract
УДК 517.5
Якщо неперервна на дійсній осі
2
π
-періодична функція
f
змінює свій знак у
2
s
,
s
∈
ℕ
,
точках
y
i
:
-
π
≤
y
2
s
<
y
2
s
-
1
<
…
<
y
1
<
π
,
а для інших
i
∈
ℤ
точки
y
i
визначаються періодично, то для кожного натурального
n
,
більшого за деяку сталу
N
(
k
,
y
i
)
,
що залежить тільки від
k
∈
ℕ
і
min
i
=
1
,
…
,2
s
{
y
i
-
y
i
+
1
}
,
знайдено тригонометричний поліном
P
n
порядку не вищого за
n
такий, що
P
n
має скрізь той самий знак, що і
f
,
за винятком, можливо, маленьких околів точок
y
i
:
(
y
i
-
π
/
n
,
y
i
+
π
/
n
)
,
і
‖
f
-
P
n
‖
≤
c
(
k
,
s
)
ω
k
(
f
,
π
/
n
)
,
де
c
(
k
,
s
)
— стала, що залежить тільки від
k
і
s
,
ω
k
(
f
,
⋅
)
— модуль гладкості
k
-го порядку функції
f
і
‖
⋅
‖
— max-норма.
Publisher
Institute of Mathematics National Academy of Sciences of Ukraine
Reference23 articles.
1. Dzyadyk, V. K. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. (Russian) [Introduction to the theory of uniform approximation of functions by polynomials] Nauka, Moscow, 1977. 511 pp.
2. Lorentz, G. G.; Zeller, K. L. Degree of approximation by monotone polynomials. I. J. Approximation Theory 1 (1968), 501–504. https://doi.org/10.1016/0021-9045(68)90039-7
3. Dzyubenko, G. A.; Gilewicz, J. Copositive approximation of periodic functions. Acta Math. Hungar. 120 (2008), no. 4, 301–314. https://doi.org/10.1007/s10474-008-6204-0
4. Pleshakov, M. G.; Popov P. A. Знакосохраняющее приближение периодических функций. (Russian) [Sign-Preserving Approximation of Periodic Functions]. Укр. мат. журн. 55 (2003), no. 8, 1087–1098 [Ukr. Math. J. 55 (2003), no. 8, 1314–1328]. https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000010761.91730.16
5. Popov, P. A. Один контрприклад у знакозберiгаючому наближеннi перiодичних функцiй. (Ukrainian) [Odyn kontrpryklad u znakozberigajuchomu nablyzhenni periodychnyh funkcij]. Проблеми теорiї наближення функцiй: Зб. праць Iн-ту математики НАН України [Problemy teorii' nablyzhennja funkcij: Zb. prac' In-tu matematyky NAN Ukrai'ny], 2 (2005), no. 2, 176–185.