Інтерполяційна оцінка копозитивного наближення алгебраїчними поліномами

Abstract

УДК 517.9 Якщо неперервна на [ 1,1 ] функцiя f змiнює свiй знак у s точках y i , - 1 < y s < y s - 1 < … < y 1 < 1 , то для кожного n ∈ ℕ , що бiльше за деяку сталу ℕ , яка залежить тiльки вiд min i = 0 , … , s { y i - y i + 1 } , y s + 1 : = - 1 , y 0 : = 1 , знайдено алгебраїчний полiном P n степеня ≤ n такий, що P n має на [ 1,1 ] той самий знак, що i f , зокрема P n ( y i ) = 0 , i = 1 , … , s , i < b r > | f ( x ) - P n ( x ) | ≤ c ( s ) ω 2 ( f , 1 - x 2 / n ) , x ∈ [ - 1,1 ] , < b r > де c ( s ) — стала, яка залежить тiльки вiд s , i ω 2 ( f , ⋅ ) — модуль гладкостi 2-го порядку функцiї f . Зауважимо, що в цiй iнтерполяцiйнiй у ± 1 оцiнцi, встановленiй ДеВором для наближення без обмежень, не можна замiнити ω 2 на ω k , k > 2 , навiть для наближення без обмежень.