Теория классических газовых политроп в интегральном представлении. I. Некоторые общие результаты

Abstract

Представлены известные результаты теории классических газовых политроп в рамках интегрального подхода, где вместо стандартного дифференциального уравнения Лэйна-Эмдена для сферически-симметричной гравитирующей массы рассматривается его эквивалент в виде нелинейного интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода. Показано, что обратное преобразование Лапласа уравнения Лэйна-Эмдена для политропы с показателем n = 5 (модель Шустера) представляет собой рекуррентное соотношение для функций Бесселя первого рода. Доказана инвариантность нелинейного интегрального уравнения Вольтерры относительно гомологических преобразований, а также возможность получения сингулярных решений при определенных условиях. Также показано, что для целочисленных и полуцелых показателей политропы это уравнение эквивалентно многомерному интегральному уравнению, а нахождение с его помощью разложения функции Эмдена в ряд по степеням безразмерного расстояния от центра политропы эквивалентно нахождению ряда Неймана и итерированных ядер в теории Фредгольма. Приближения функций Эмдена в замкнутом виде и их применимость к разным астрофизическим объектам будут представлены и обсуждаться во второй части настоящей работы. Политропы других геометрий и размерностей здесь не рассматриваются. The well-known results of the theory of classical gas polytropes within the framework of the integral approach are presented, where instead of the standard Lane-Emden differential equation for a spherically symmetric gravitating mass, its equivalent is considered in the form of a nonlinear integral Volterra equation of the 2-nd kind. It is shown that the inverse Laplace transform of the Lane-Emden equation for a polytrope with a value of n = 5 (Schuster model) represents the recursive relation for Bessel functions of the first kind. The invariance of the nonlinear integral Volterra equation with respect to homological transformations is proved, as well as the possibility of obtaining singular solutions under certain conditions. It is also shown that for integer and half-integer polytropes, this equation is equivalent to a multidimensional integral equation, and finding with its help the decomposition of the Emden function into a series by degrees of the dimensionless distance  from the center of the polytrope is equivalent to finding the Neumann series and iterated nuclei in Fredholm's theory. Approximations of Emden functions in a closed form and their applicability to different astrophysical objects will be presented and discussed in the second part of this work. Polytropes of other geometries and dimensions are not considered here.