О решении одного гиперсингулярного интегрального уравнения, встречающегося в механике трещин

Abstract

Рассматриваются граничные задачи механики трещин и теории стационар- ной теплопроводности, сводящиеся к интегральному уравнению с гиперсингулярным ядром Коши. Определяющее гиперсингулярное интегральное уравнение допускает замкнутое решение в интегральной форме, которое при обратной постановке задачи может быть интерпретировано как интегральное уравнение Фред- гольма первого рода с симметричным логарифмическим ядром. Эти уравнения решены также численно-аналитическим методом механических квадратур, основанным на квадратурных формулах типа Гаусса для гиперсингулярного интеграла и представленной в работе квадратурной формуле для интеграла с симметричным логарифмическим ядром. Проведен сравнительный численный анализ решений, полученных при помощи различных квадратурных формул, с замкнутым решением. Դիտարկվում են ճաքերի մեխանիկայի և ստացիոնար ջերմահաղորդակա- նության տեսության եզրային խնդիրներ, որոնք հանգում են Կոշու հիպերսինգուլյար կորիզով ինտեգրալ հավասարման: Որոշիչ հիպերսինգուլյար ինտեգրալ հավա- սարումը թույլատրում է ինտեգրալի տեսքով փակ լուծում, որը խնդրի հակադարձ դրվածքի դեպքում կարելի է մեկնաբանել որպես սիմետրիկ լոգարիթմական կորիզով Ֆրեդհոլմի առաջին սեռի ինտեգրալ հավասարում: Այդ հավասարումները լուծված են նաև մեխանիկական քառակուսացման թվային-անալիտիկ եղանակով, որը հիմնված է հիպերսինգուլյար ինտեգրալի համար Գաուսի տիպի քառակուսացման բանաձևերի, ինչպես նաև լոգարիթմական սիմետրիկ կորիզով ինտեգրալի համար աշխատանքում ներկայացված քառակուսացման բանաձևի վրա: Կատարվել է տարբեր քառակուսաց- ման բանաձևերի միջոցով ստացված լուծումների և փակ լուծման համեմատական թվային վերլուծություն: The paper considers boundary value problems in fracture mechanics and in the theory of steady-state thermal conductivity. The problems reduce to an integral equation with a hyper-singular Cauchy kernel. The governing hyper-singular integral equation permits closed-form solution of an integral form, which, under the inverse problem formulation, can be interpreted as a Fredholm integral equation of the first kind with a symmetrical logarithmic kernel. These equations are also solved by the numerical analytical method of mechanical quadratures based on Gauss type quadrature formulae for hyper-singular integral and on the introduced in the paper quadrature formula for the integral with a symmetrical logarithmic kernel. By numerical analysis, the solutions obtained by various quadrature formulae are compared with the closed-form solution.