1. Mit der Unterklasse von positiven konvexen Funktionen f (x), für welche noch weiter die Symmetrieeigenschaft f (f (π-x) = f (x) besteht, möchte ich mich an anderer Stelle gesondert beschäftigen.
2. Die Sätze dieser Note sind für die Cesàromittel formuliert und für sie bewiesen. Sie gelten aber fast ausnahmslos für die sog. Hölderschen Mittelwerte. Eben deswegen spreche ich fast immer von den „arithmetischen Mittelwerten”, oder kurz „Mittelwerten” einer Reihe und gebrauche den Ausdruck „Cesàromittel” nur dann, wenn ich die betreffende Behauptung bisher nur für diese Mittelwerte beweisen konnte. I. B. auf den Übergang zu den Hölderschen Mittelwerten von den Cesàroschen verweise ich auf die Arbeit von Herrn J. Schur: Über die Äquivalenz der Cesàrosehen und Hölderschen Mittelwerte, Math. Annalen Bd. LXXIV (1913), S. 447 bis 458.
3. Bei der Bildung der arithmetischen Mittelwerte denken wir uns die Sinusreihe (10) immer als vollständige Fourierreihe 0 + (0 · cos x + b1 sin x) + … + (0 · cos n x + bn sin n x) + … geschrieben, so daß Sn(3) (x) = n (n + 1) (n + 2) b1 sin x + … + 1 · 2 · 3 bn sin n x/(n + 1) (n + 2) (n + 3).
4. Natürlich S0(3) (x) = 0 ausgenommen.
5. Beweis auf Grund der Positivität der Sn(3) (x) der Reihe (36) in der Nr. 8 vorliegender Arbeit. – Ich bemerke hier, daß die Ungleichung 0 < Sn3) (x) ∑ M sich in interessanter Weise verschärfen läßt mit Hilfe der Sn(3) (x) der Sinusreihe 1 = 4/π ∑ sin (2 v - 1)x/2 v -1. Die Sn(1) (x) dieser Reihe hat besonders Herr H. S. Carslaw genauer untersucht;. sein INtroduction to the Theory of Fourier's Series and Integrals, third Edition, London (1930), für die Sn(1) (x insbesondere die interessante Figur 37 auf S. 309.