Transformations Affines Agissant Sur Un Ensemble Compact Convexe

Abstract

Soit Eun espace vectoriel topologique localement convexe séparé et soit K un sous-ensemble convexe compact de E, le problème que nous voulons considérer est le suivant : nous partons d'une famille A de transformations affines de Kdans lui-même, pour chaque point xde K, nous considérons la fermeture de l'enveloppe convexe de {A(x)| A∊ A}, ce que nous appelions A(x). Si nous voulons que l'application x → A(x) vérifie certaines propriétés, quelles conditions devons-nous imposer à A ou à K? La solution de ce problème est reliée à plusieurs théorèmes de point fixe (en particulier au théorème de Markov-Kakutani (2) et de Ryll-Nardzewski (3)), ainsi qu'au lemme de Choquet-Deny sur les solutions bornées de l'équation de convolution μ * σ = μ. Le principal résultat de cet article est que l'application identité est un élément extrême de l'ensemble des applications affines d'un convexe borné en lui-même.