Convexité, complète monotonie et inégalités sur les fonctions zèta et gamma, sur les fonctions des opérateurs de Baskakov et sur des fonctions arithmétiques

Abstract

RésuméNous prouvons un encadrement optimal pour la quantité pour x ≥ 0 et s > 1, qui améliore l'encadrement standard par des int égrales. Cet encadrement entraîne des inégalités sur la fonction ζ de Riemann, et amène à conjecturer la monotonie de la fonction . On donne des applications à l'étude de la convexité de fonctions liées à la fonction Γ d'Euler et à la majoration optimale des fonctions élémentaires intervenant dans les opérateurs de Baskakov. Puis, nous étendons aux fonctions complètement monotones sur ]0, +∞[ les résultats établis pour la fonction , et nous en déduisons des preuves élémentaires du comportement, quand z tend vers 1, des séries génératrices de certaines fonctions arithmétiques. Enfin, nous prouvons qu'une partie du résultat se généralise à une classe de fonctions convexes positives décroissantes.