Sur L'Approximation Polynomiale Avec Poids exp(-|x|)

Abstract

Dans ce travail, nous étudions l'approximation polynomiale pondérée usuelle et aussi unilatérale dans l'espace L. Le poids considéré est w(x) = exp (—|x|) ce qui constitue un cas extremal; rappelons à ce propos quelques résultats de G. Freud. A chaque poids de la forme wQ(x) = exp ( — (Q(#)) correspond une suite caractéristique {qn} de nombres positifs définis par la relation qnQ’ (qn) = n. Dans le sixième chapitre de [1] (voir aussi [14]), Freud démontre que toute fonction/ pour laquelle ƒwQ ∊ L peut être approchée par un polynôme pn de degré ≤n en commettant une erreur (∫|fƒ -Pn\w Q) d'au plus Ω(ƒ, qn/n) où Ω est un module de continuité adéquat et obtient des résultats précisés lorsque la fonction ƒ est supposée differentiate. Dans [2], Freud montre que si la r ième dérivée f(r) est à support compact et à variation bornée et si |ƒ| admet une majoration polynomiale, alors/ peut être approchée unilatéralement par des polynômes de degré ≦n (pn ≦ ƒ ≦ Pn) avec une erreur (∫(Pn — pn)wQ) inférieure à K(ƒ)(qn/n)r+1. Lorsque Q(x) = |x|p, on a qn ~ n 1/p de telle sorte que, si ρ > 1, qn/n tend vers zéro avec \/n mais, si ρ = 1, le prolongement formel direct des résultats de Freud fournit une majoration de l'erreur ne tendant pas vers zéro avec 1/n. Cependant, il suit des recherches de M. Riesz [3] (voir aussi [4]) que les fonctions à croissance polynomiale peuvent être approchées unilatéralement dans l'espace L avec poids w et, en particulier, que les polynômes sont denses dans cet espace.