Polynomes a Valeurs Entieres

Abstract

Soit A un anneau intègre de corps des fractions K, on s'interesse ici aux polynômes de K[X] qui prennent sur A leurs valeurs dans A. Ils forment bien évidemment un sous anneau de K[X] qui contient A[X], nous le notons As.Cet article reprend, dans un langage moderne, les idées de deux publications assez anciennes, dues à Polya [3] et Ostrowsky [4], en 1919. Les auteurs montraient que si A est principal, As est un A-module libre qui admet sur A une base formée de polynômes de degré croissant ; si A est plus généralement l'anneau des entiers d'un corps de nombres ils mettaient en évidence une suite d'idéaux fractionnaires de A. En exposant le cas de l'anneau A principal, pour un anneau de valisation discrète dans le premier paragraphe, puis en généralisant aux anneaux de Dedekind dans notre second paragraphe, nous pouvons énoncer de façon plus explicite, que As est un A-module projectif, que l'on peut décomposer canoniquement en somme d'idéaux fractionnaires de A.