Abstract
УДК 517.55
Вивчається композиція
F
(
z
)
:
=
f
(
Φ
(
z
)
,
…
,
Φ
(
z
)
︸
m
??????????
)
:
ℂ
n
→
ℂ
,
n
≥
1
,
m
≥
1
,
де
Φ
:
𝔹
n
→
ℂ
— голоморфна на зрізках в одиничній кулі функція, а
f
:
ℂ
m
→
ℂ
— функція, голоморфна на зрізках в усьому
m
-вимірному комплекс\-ному просторі
ℂ
m
, тобто зріз-функція
g
z
(
τ
)
=
f
(
z
+
b
τ
)
— ціла функція змінної
τ
∈
ℂ
при кожному фіксованому
z
∈
ℂ
m
та для заданого напрямку
b
∈
ℂ
m
∖
{
0
}
. Голоморфність на зрізці в одиничній кулі
𝔹
n
означає, що для заданого напрямку
b
∈
ℂ
n
∖
{
0
}
і для кожної точки
z
0
з одиничної кулі відповідна зріз-функція голоморфна на звуженні початкової функції на зрізку
{
z
0
+
t
b
:
t
∈
ℂ
}
∩
𝔹
n
.
Додаткове припущення про сукупну неперервність для цих функцій дозволяє побудувати аналог теорії цілих функцій обмеженого індексу. Відповідні результати також застосовні до вивчення властивостей голоморфних на зрізках розв'язків диференціальних рівнянь з похідними за напрямком, описують локальне поводження та розподіл значень. Знайдено умови, достатні для обмеженості
L
-індексу за напрямком
b
для функції
F
(
z
)
.
Деякі з отриманих результатів також нові в одновимірному випадку, а саме для
n
=
1
,
m
=
1
,
тоді куля зводиться до одиничного круга. Відповідні умови знайдено двома різними підходами у теорії функцій обмеженого індексу: аналогом теореми Хеймана та аналогом логарифмічного критерію. Також наведено приклади функцій, композиція яких задовольняє всі умови лише однієї з доведених теорем.
Publisher
SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Application)