Об условии удвоения для положительно определенных функций на полуоси со степенным весом

Author:

Горбачёв Дмитрий Викторович1,Иванов Валерий Иванович1

Affiliation:

1. Тульский государственный университет

Abstract

Непрерывные неотрицательные положительно определенные функции удовлетворяютследующему свойству:\[\int_{-R}^{R}f(x)\,dx\le C(R)\int_{-1}^{1}f(x)\,dx,\quad R\ge 1,\tag{$*$}\]где наименьшая положительная константа $C(R)$ не зависит от $f$. При $R=2$ этосвойство хорошо известно как условие удвоения в нуле. Данные неравенства имеютприложения в теории чисел.В одномерном случае неравенство~($*$) изучалось Б.Ф.~Логаном (1988), а такженедавно А.~Ефимовым, М.~Гаалом и Сц.~Ревешем (2017). Было доказано, что$2R-1\le C(R)\le 2R+1$ для $R=2,3,\ldots$, откуда следует, что $C(R)\sim 2R$.Вопрос о точных константах здесь открыт.Многомерный вариант неравенства ($*$) для евклидова пространства$\mathbb{R}^{n}$ исследовался Д.В.~Горбачевым и С.Ю.~Тихоновым (2018). Вчастности доказано, что для непрерывных положительно определенных функций$f\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}_{+}$\[\int_{|x|\le R}f(x)\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{|x|\le 1}f(x)\,dx,\]где $c_{n}\le 2^{n}n\ln n\,(1+o(1))(1+R^{-1})^{n}$ при $n\to \infty$. Отсюда нарадиальных функциях получаем одномерное весовое неравенство\[\int_{0}^{R}f(x)x^{n-1}\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{0}^{1}f(x)x^{n-1}\,dx,\quad n\in \mathbb{N}.\]Мы изучаем следующее естественное весовое обобщение данных неравенств:\[\int_{0}^{R}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx\leC_{\alpha}(R)\int_{0}^{1}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx,\quad \alpha\ge -1/2,\]где $f\colon \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$~--- произвольная четнаянепрерывная положительно определенная функция относительно веса$x^{2\alpha+1}$. Это понятие было введено Б.М.~Левитаном (1951) и означает, чтодля произвольных $x_{1},\ldots,x_{N}\in \mathbb{R}_{+}$ матрица$(T_{\alpha}^{x_i}f(x_j))_{i,j=1}^{N}$ неотрицательно определенная. Здесь$T_{\alpha}^{t}$~--- оператор обобщенного сдвига Бесселя--Гегенбауэра. Левитандоказал аналог классической теоремы Бохнера для таких функций, согласнокоторому $f$ имеет неотрицательное преобразование Ганкеля (в смысле меры).Мы доказываем, что для каждого $\alpha\ge -1/2$\[c_{1}(\alpha)R^{2\alpha+2}\le C_{\alpha}(R)\le c_{2}(\alpha)R^{2\alpha+2},\quadR\ge 1.\]Нижняя оценка тривиально достигается на функции $f(x)=1$. Для доказательстваверхней оценки мы применяем нижние оценки сумм вида$\sum_{k=1}^{m}a_{k}T^{x_{k}}\chi(x)$, где $\chi$~--- характеристическаяфункция отрезка $[0,1]$, а также свойства свертки Бесселя.

Publisher

FSBEIHE Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University

Subject

General Mathematics

Reference14 articles.

1. Bateman G., Erd\'elyi A., et al., Higher Transcendental Functions. Vol. II. NewYork: McGraw Hill Book Company, 1953.

2. Ga\'al M., R\'ev\'esz Sz. Gy. Integral comparisons of nonnegative positivedefinite functions on locally compact abelian groups // arXiv:1803.06409[math.FA].

3. Ghobber S., Jaming P. The Logvinenko--Sereda theorem for theFourier--Bessel transform // Integral Transforms and Special Functions.2013. Vol. 24, no. 6. P. 470--484.

4. Gorbachev D.V. Certain inequalities for discrete, nonnengative, positivedefinite functions // Izv. Tul. Gos. Univ. Est. nauki 2015. No. 2. P. 5--12.[in Russian]

5. Gorbachev D.V., Tikhonov S.Yu. Doubling condition at the origin fornon-negative positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2018 (inpress); arXiv:1612.08637 [math.CA].

同舟云学术

1.学者识别学者识别

2.学术分析学术分析

3.人才评估人才评估

"同舟云学术"是以全球学者为主线,采集、加工和组织学术论文而形成的新型学术文献查询和分析系统,可以对全球学者进行文献检索和人才价值评估。用户可以通过关注某些学科领域的顶尖人物而持续追踪该领域的学科进展和研究前沿。经过近期的数据扩容,当前同舟云学术共收录了国内外主流学术期刊6万余种,收集的期刊论文及会议论文总量共计约1.5亿篇,并以每天添加12000余篇中外论文的速度递增。我们也可以为用户提供个性化、定制化的学者数据。欢迎来电咨询!咨询电话:010-8811{复制后删除}0370

www.globalauthorid.com

TOP

Copyright © 2019-2024 北京同舟云网络信息技术有限公司
京公网安备11010802033243号  京ICP备18003416号-3