Affiliation:
1. Тульский государственный университет
Abstract
Непрерывные неотрицательные положительно определенные функции удовлетворяютследующему свойству:\[\int_{-R}^{R}f(x)\,dx\le C(R)\int_{-1}^{1}f(x)\,dx,\quad R\ge 1,\tag{$*$}\]где наименьшая положительная константа $C(R)$ не зависит от $f$. При $R=2$ этосвойство хорошо известно как условие удвоения в нуле. Данные неравенства имеютприложения в теории чисел.В одномерном случае неравенство~($*$) изучалось Б.Ф.~Логаном (1988), а такженедавно А.~Ефимовым, М.~Гаалом и Сц.~Ревешем (2017). Было доказано, что$2R-1\le C(R)\le 2R+1$ для $R=2,3,\ldots$, откуда следует, что $C(R)\sim 2R$.Вопрос о точных константах здесь открыт.Многомерный вариант неравенства ($*$) для евклидова пространства$\mathbb{R}^{n}$ исследовался Д.В.~Горбачевым и С.Ю.~Тихоновым (2018). Вчастности доказано, что для непрерывных положительно определенных функций$f\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}_{+}$\[\int_{|x|\le R}f(x)\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{|x|\le 1}f(x)\,dx,\]где $c_{n}\le 2^{n}n\ln n\,(1+o(1))(1+R^{-1})^{n}$ при $n\to \infty$. Отсюда нарадиальных функциях получаем одномерное весовое неравенство\[\int_{0}^{R}f(x)x^{n-1}\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{0}^{1}f(x)x^{n-1}\,dx,\quad n\in \mathbb{N}.\]Мы изучаем следующее естественное весовое обобщение данных неравенств:\[\int_{0}^{R}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx\leC_{\alpha}(R)\int_{0}^{1}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx,\quad \alpha\ge -1/2,\]где $f\colon \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$~--- произвольная четнаянепрерывная положительно определенная функция относительно веса$x^{2\alpha+1}$. Это понятие было введено Б.М.~Левитаном (1951) и означает, чтодля произвольных $x_{1},\ldots,x_{N}\in \mathbb{R}_{+}$ матрица$(T_{\alpha}^{x_i}f(x_j))_{i,j=1}^{N}$ неотрицательно определенная. Здесь$T_{\alpha}^{t}$~--- оператор обобщенного сдвига Бесселя--Гегенбауэра. Левитандоказал аналог классической теоремы Бохнера для таких функций, согласнокоторому $f$ имеет неотрицательное преобразование Ганкеля (в смысле меры).Мы доказываем, что для каждого $\alpha\ge -1/2$\[c_{1}(\alpha)R^{2\alpha+2}\le C_{\alpha}(R)\le c_{2}(\alpha)R^{2\alpha+2},\quadR\ge 1.\]Нижняя оценка тривиально достигается на функции $f(x)=1$. Для доказательстваверхней оценки мы применяем нижние оценки сумм вида$\sum_{k=1}^{m}a_{k}T^{x_{k}}\chi(x)$, где $\chi$~--- характеристическаяфункция отрезка $[0,1]$, а также свойства свертки Бесселя.
Publisher
FSBEIHE Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University
Reference14 articles.
1. Bateman G., Erd\'elyi A., et al., Higher Transcendental Functions. Vol. II. NewYork: McGraw Hill Book Company, 1953.
2. Ga\'al M., R\'ev\'esz Sz. Gy. Integral comparisons of nonnegative positivedefinite functions on locally compact abelian groups // arXiv:1803.06409[math.FA].
3. Ghobber S., Jaming P. The Logvinenko--Sereda theorem for theFourier--Bessel transform // Integral Transforms and Special Functions.2013. Vol. 24, no. 6. P. 470--484.
4. Gorbachev D.V. Certain inequalities for discrete, nonnengative, positivedefinite functions // Izv. Tul. Gos. Univ. Est. nauki 2015. No. 2. P. 5--12.[in Russian]
5. Gorbachev D.V., Tikhonov S.Yu. Doubling condition at the origin fornon-negative positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2018 (inpress); arXiv:1612.08637 [math.CA].