Константы Никольского в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$

Abstract

Недавно Арестов, Бабенко, Дейкалова и Horv\'ath установили ряд интересныхрезультатов относительно точной константы Никольского$\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)$ в весовом неравенстве\[\sup_{x\in [0,\infty)}|f(x)|\le\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p}\biggl(2\int_{0}^{\infty}|f(x)|^{p}x^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p}\]для подпространства $\mathcal{E}^{\sigma}\capL^{p}(\mathbb{R}_{+},x^{2\alpha+1}\,dx)$ четных целых функций $f$экспоненциального типа не больше $\sigma>0$, где $1\le p<\infty$ и $\alpha\ge-1/2$.Мы доказываем, что при тех же $\alpha$ и $p$\[\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p),\]где $\mathcal{L}(\alpha,p)$~--- точная константа в неравенстве Никольского\[\sup_{x\in \mathbb{R}}|f(x)|\le \mathcal{L}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p}\biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^{p}|x|^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p}\]для произвольных (не обязательно четных) функций $f\in\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}:=\mathcal{E}^{\sigma}\capL^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$.Также мы даем границы для нормализованной константы Никольского\[\mathcal{L}^{*}(\alpha,p):=(2^{2\alpha+2}\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\alpha+2))^{1/p}\mathcal{L}(\alpha,p),\]которые имеют следующий вид:\[\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\le \lceil p/2\rceil^{\frac{2\alpha+2}{p}},\quad p\in(0,\infty),\]и для фиксированного $p\in [1,\infty)$\[\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\ge (p/2)^{\frac{2\alpha+2}{p}\,(1+o(1))},\quad\alpha\to \infty.\]Верхняя оценка точная тогда и только тогда, когда $p=2$. В этом случае$\mathcal{L}^{*}(\alpha,2)=1$ для каждого $\alpha\ge -1/2$.Наш подход опирается на одномерный гармонический анализ Данкля. В частности,для доказательства равенства$\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p)$ применяется четныйположительный оператор обобщенного сдвига Данкля $T^{t}$, который ограничен в$L^{p}(\mathbb{R},|t|^{2\alpha+1}\,dt)$ с константой~$1$ и инвариантен наподпространстве $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}$.Доказательство верхней оценки константы $\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)$ основано наоценке норм воспроизводящего ядра подпространства $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$и мультипликативном неравенстве для константы Никольского. Для получения нижнейасимптотической оценки мы рассматриваем нормированную функцию Бесселя$j_{\nu}\in \mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$ порядка $\nu\sim (2\alpha+2)/p$.