О множествах ограниченных остатков для (t, s)-последовательностей I

Abstract

Пусть $$(x_n)_{n \geq 0} $$ - s-мерная последовательность типа Холтона, полученная из глобального функционального поля, $$b \geq 2$$, $$\gamma =(\gamma_1,..., \gamma_s)$$, $$\gamma_i \in [0, 1)$$ с b-адическим разложением $$\gamma_i= \gamma_{i,1}b^{-1}+ \gamma_{i,2}b^{-2}+...$$, $$i=1,...,s$$. В этой статье мы докажем, что $$[0,\gamma_1) \times ...\times [0,\gamma_s)$$ - множество ограниченного остатка относительно последовательности $$(x_n)_{n \geq 0}$$ тогда и только тогда, когда \begin{equation} \nonumber \max_{1 \leq i \leq s} \max \{ j \geq 1 \; | \; \gamma_{i,j} \neq 0 \} < \infty. \end{equation}Мы также получим аналогичные результаты для обобщенных последовательностей Нидеррайтера, последовательностей Хинга-Нидеррайтера и последовательностей Нидеррайтера-Хинга.