Обобщённые суммы Гаусса и многочлены Бернулли

Abstract

Для периодической арифметической функции с периодом, равным простому числу q, при целых m,n вводится понятие обобщённой суммы Гаусса $$G_f(m)$$ с символом Лежандра $$\left(\frac nq\right)$$: $$ G_f(m)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)f\left(\frac{mn}q\right). $$ Рассмотрены частные случаи $$f(x)=B_\nu(\{x\}), \nu\geq 1,$$ где $$B_\nu(x)$$ - многочлены Бернулли. В работе используется техника конечных рядов Фурье. Если функция $$f\left(\frac{k}{q}\right)$$ определена в точках $$k=0,1,\ldots,q-1,$$ то её можно разложить в конечный ряд Фурье $$ f\left(\frac{k}{q}\right)=\sum_{m=0}^{q-1}c_me^{2\pi i\frac{mk}{q}}, \quad c_m=\frac{1}{q}\sum_{k=0}^{q-1}f\left(\frac{k}{q}\right)e^{-2\pi i\frac{mk}{q}}. $$ С помощью разложения в конечный ряд Фурье обобщённой суммы Гаусса $$ G_\nu(m)=G_\nu(m;B_\nu)=\sum_{n=1}^{q-1}\left(\frac nq\right)B_\nu{\left(\left\{x+\frac{mn}q\right\}\right)} $$ при $$\nu=1$$ и $$\nu=2$$ найдены новые формулы, выражающие значение символа Лежандра через полные суммы от периодических функций. Это обстоятельство позволяет получить новые аналитические свойства соответствующих рядов Дирихле и арифметических функций, что будет темой следующих работ. В работе обнаружено важное свойство сумм $$G_1$$ и $$G_2,$$ а именно: $$G_1\ne 0,$$ если $$q\equiv 3\pmod 4$$ и $$G_1=0,$$ если $$q\equiv 1\pmod 4;$$ $$G_2= 0,$$ если $$q\equiv 3\pmod 4$$  и $$G_2=\frac 1{q^2}\sum\limits_{n=1}^{q-1}n^2\left(\frac nq\right),$$ если $$q\equiv 1\pmod 4.$$