О базисности системы экспонент и тригонометрических систем синусов и косинусов в весовых гранд-пространствах Лебега

Abstract

Работа посвящена базисности системы экспонент и тригонометрических систем синусов и косинусов в сепарабельном подпространстве весового гранд-пространства Лебега, порожденном оператором сдвига. Посредством оператора сдвига определяется сепарабельное подпространство $G_{p),\rho } (a,b)$ весового гранд-пространства Лебега $L_{p),\rho } (a,b)$. Изучена плотность множества $G_{0}^{\infty } ([a,b])$ бесконечно дифференцируемых, финитных на $[a,b]$ функций в $G_{p),\rho } (a,b)$. Доказывается, что если весовая функция $\rho $ удовлетворяет условию Макенхоупта, то система экспонент $\{e^{int} \}_{n\in Z} $ является базисом в $G_{p),\rho } (-\pi ,\pi )$, а тригонометрические системы синусов $\{\sin nt\}_{n\ge 1} $ и косинусов $\{\cos nt\}_{n\ge 0} $ - базисами в $G_{p),\rho } (0,\pi )$.